dévelloppement limité

j'ai regardé sur le net, questiopnné mon prof, hélas, je ne comprend rien aux "développement limité"...

d'après ce que j'ai compris ça sert à "voir" une orientation de la courbe par rapport à une tangente. pour cela il y a des conditions à remplir (que je n'ai pas non plus compris).

pourrais-je avoir une piste ?

Bonjour,

A quoi servent les développements limités?

C'est une question qui est assez récurrente en mathématiques et souvent la réponse est "ça sert à faire d'autre maths" mais pour le coup dès qu'on dépasse le niveau terminale, les choses qui s'applique à la vie (physique, biologie, chimie, finance, économie, ...) sont moins rares et il est donc plus "facile" pour nous de répondre à ce genre de questions.

La réponse que tu donnes est en fait une réponse un peu erronée car il se limite à l'ordre 1 du développement limité où justement on visualise simplement la tangente à la courbe mais cela ne sert pas à grand chose de la voir ainsi car on ne voit pas du tout le lien avec le mot "développement" et le mot "limité".

En fait, un développement limitée d'une fonction F c'est le fait d'approcher cette fonction par un polynôme. Quel est l'intérêt de cette chose?

Et bien, les polynôme sont les fonctions qu'on sait calculer pour tous les réels. Ce sont les fonctions les plus simples qu'on connaissait au niveau de leur représentation graphique aussi. Il y a donc une simplification énorme à considérer un polynôme par rapport à une fonction quelconque.

Le mot "développement" vient donc qu'on développe/on déroule une fonction quelconque sous la forme d'un polynôme. On peut par exemple voir une analogie entre un objet de l'espace très compliqué qu'on développe sous la forme d'un patron dans le plan qui est lui plus facile à étudier (longueur plus simple à mesurer, les angles sont plus facile à appréhender aussi, ...).

Le mot "limité", quant à lui, vient du fait que si toutes les fonctions étaient des polynômes cela se serait depuis bien longtemps. Donc, le développement approche la fonction mais avec une erreur plus où moins grande d'ailleurs ce qui lui donne un caractère limité au niveau de la précision (un grand O en x³ est moins proche de la fonction qu'un grand O en x⁴ qui reste aussi une approximation de la fonction et non une valeur exacte).

Voilà en gros l'idée, le but et l'intérêt des développements limités. Pour te donner un exemple simple, sans calculatrice, tu serais bien gêné de me donner une approximation de Sin(0.01) par exemple. En revanche, à l'aide d'un développement limité en 0 du sinus, tu es tout à fait capable de m'en donner une valeur plutôt précise (tout dépend de l'ordre que tu prendras après tout).

D'ailleurs, comme tu le constate, je parle à la fin de développement limité en 0. En fait, on ne parle jamais de développement limité tout court car cela n'a pas de sens, car la précision d'approche d'une fonction par une fonction polynôme via les développement limité n'est pas la même en tout point. Donc un développement limité en a va être intéressant seulement autour de a (et plus on sera proche de a et plus la valeur sera proche de la réalité).

Maintenant, si je reviens à ce que tu disais, le développement limité d'une fonction à l'ordre 1 en un point a revient en effet à approcher la fonction par une fonction polynôme de degré 1 c'est à dire la tangente au point tout simplement. C'est ce qu'on appelle linéariser la fonction autour d'un point (une droite est une fonction linéaire, je le rappelle au cas où le mot "linéariser" n'aura pas de lien concret).


Est-ce plus clair ainsi? La notion lui étant associé c'est la recherche d'équivalent.

Bon courage!

ps: je n'ai parlé ici de développement limité dans la base des polynômes {1, x, x², ...} car c'est la plus simple à voir/comprendre et c'est celle qui à le plus d'intérêt à ton niveau ej pense mais il existe aussi des développements limites avec d'autre base telle que {1,1/x,1/x², ...} ou encore {...,1/xⁿ, ..., 1/x², 1/x, 1, x, x², ....} et bien d'autres.

j'ai "assez" compris pour avancer je pense:
j'ai aussi compris qu'il y avait des développements limité usuel composé d'une partie régulière et d'un terme complémentaire.

je sais aussi que les fonctions polynomes sont égales à leur D.L (développement limité). mais j'ai aussi vu quelques part que le terme complémentaire valait zéro... c'est à dire E(x)=0. à quoi sert d'inclure ce terme ?


ps: mes questions peuvent paraitre ultra basique, explication : je compte passer l'examen en candidat libre l'année prochaine...tout mes cours se trouvent ...sur le net ! mes questions ne sont donc pas celles d'un élève "normal".

Bonsoir,

Aucun élève normal existe et heureusement sinon le métier serait vite monotone voire inintéressant. Donc ne n'inquiète pas, je vais m'adapter, le but étant que j'arrive à cerner les soucis tout simplement ce qui est pas toujours évident par écran interposé c'est évident.

Déjà, la partie complémentaire d'après ce que j'ai compris c'est simplement la base des inverses. Par exemple, si je considère la fonction F(x)= 1/x² + 1 - x²/4 + x³.

Cette fonction à pour partie régulière, la partie polynomiale et pour partie complétaire E(x)=1/x². C'est à dire qu'on écrit ici un développement dans la base {x^a avec a un entier relatif}={1/xⁿ}U{xⁿ}

Pourquoi, écrire les polynômes ainsi: P(x)=P(x)+E(x) avec E(x)=0? Tout simplement pour généraliser les choses à toutes fonctions. ainsi, les polynômes deviennent un cas particulier d'un cas plus générale tout simplement.

Il faut bien comprendre ici, le but des mathématiques ou même de toute sciences d'ailleurs. Le but réside autant que faire se peut dans la généralisation des lois/théorème/.... On cherche donc à minimiser les cas particuliers en les incluant dans un cas globale qui permettra ainsi de traiter tout d'un coup.

Par exmeple, en physique, on dit souvent "dans le référentielle galiléen, on a ...." et pourtant on pourrait dire simplement sur Terre cela se passe ainsi et sur mer cela se passe de la même façon. Oui mais pourquoi cela se passe de la même manière? Car le référentiel est en fait le même dans le sens où il a les mêmes caractéristiques permettant de constater les mêmes résultats. Et bien ne mathématiques c'est pareil en quelque sorte, on cherche à avoir des théorème avec des hypothèses minimalistes ce qui permet donc de les appliquer sans se poser de questions sur la forme de la fonction par exemple mais simplement sur ce qui caractérise la fonction en l'occurrence.


Sinon, pour le cas le plus utiliser dans les développements limités c'est l'utilisation de la base polynomiale tout simplement et de dire qu'on s'arrête à une précision donnée qu'on appelle soit "Grand O de X en a" ou "petit o de X en a" par exemple où a est un réel ou l'infini.

En espérant que cela prenne forme en tout cas.

Bon courage!