Déterminant et polynôme

Salut,

t'as récupéré une connexion internet stable ?

J'ai un question de cours sur le déterminant. On a dit que l'application (x₁,...,x_n)->det_B(x₁,...,x_n) était polynômiale en les coordonnées des x_i. Ca veut dire quoi, j'arrive pas à voir ?

Bonjour,

Je me bats avec France Télécom et mon fournisseur c'est une vraie galère pour l'instant mais bon, je fais avec la preuve .

alors, "être polynômiale en ses coordonnées" cela signifie que la fonction est de la forme une combinaison linéaire de termes. Et ensuite chacun des termes est une multiplication des variables initiales sachant que chaque variable est prise à une puissance a_i où a_i est un entier naturel.

Ainsi chaque terme de ta somme esst de la forme suivante:

alpha*x₁^(a₁)*...*x_n^(a_n)


Cela rappelle la forme d'un polynôme à une indéterminée (à une variable) sauf qu'ici il y a plusieurs variables (indéterminées) tout simplement.

En espérant que cela soit plus clair ainsi.

Bon courage!

Oui ok, mais je pige pas pourquoi il en est ainsi.

On a vu que det(x1,...,xn)=∑_{(σ dans l'ensemble des permutations)} ε_σ.a_σ(1)1...a_σ(n)n avec x_j=∑_{(sur i)} a_ij.e_i.

Et je vois pas où apparaissent les puissances des a_ij ainsi...

C'est une somme de produits, mais dans le produit on ne retrouve jamais les mêmes coordonnées si ? Donc comment retrouve-ton des puissances des a_ij en dvpant ?

Bonsoir,

Tu oublies qu'un polynôme ne possède pas forcément de puissance. En effet, P(x)=x est un polynôme par exemple.

Maintenant, si je considère plusieurs variable, P(X,Y,Z)= X*Y*Z est un polynôme en trois variables qui sont X, Y et Z tout simplement. Dans mon exemple, les puissances a_i peuvent être toutes égale à 1 cela ne pose pas de problème et le résultat sera encore un polynôme en plusieurs variable en fait.

En espérant que cela soit plus clair ainsi, sinon n'hésite pas à poser tes questions.

Bon courage!

Oui j'y ai pensé, mais je me disais que dans ce cas je ne voyais pas trop l'intérêt de souligner cet aspect dans ce cas-là.

Donc en fait le déterminant est un polynôme de degré au plus 1 (je sais pas si on peut encore parler de "degré" quand y'a plusieurs variables) c'est ça ?

Bonsoir,

Alors en fait, il y a aussi la définition du degré d'un polynôme à plusieurs variable. On parle de deux degrés d'ailleurs. il y a un degré qu'on appelle total et qui est le maximum des addition de toutes les puissances de chaque terme. Exemple: P(X,Y,Z)= X*Y + Y*Z + X*Y*Z, son degré total est 3 car le premier terme à une somme de puissance égale à 2, le deuxième a aussi une somme de puissance égale à 2 et le troisième terme a une somme de puissance égale à 3.

Et il y a un autre degré de défini qu'on appelle degré partiel par rapport à l'une des variable. Et cela rejoint la notion de degré habituel vu qu'on considère le polynôme de plusieurs variable comme un polynôme d'une seule variable. Exemple: Q(X,Y)=X+1, son degré partiel par rapport à X est 1 et par rapport à Y est 0. Son degré total est égale à 1.

En espérant que cela soit plus clair ainsi.

Bonne continuation!

Ok super merci !