PROBLEME DE POLYNOME

Salut , je suis une nouvelle membre parmi vous
j'ai un problème de fonction polynôme qui me semble beaucoup bizarre puisque je pense que j'ai tout fait pour le résoudre mais malheureusement j'ai pas pu y arriver
alors on a une fonction polynôme de degré 3 tels que : P(0)=1 et P(x+1)-P(x)=x² pour tout réel x
1)déterminer P(x) en fonction de x
2) déduire la somme S=1²+2²+3²+....+10²

alors mon problème est avec la 1ere question voila comment j'ai procédé :
P(x)=ax^3+bx²+cx+d (donc on doit chercher a,b,c,d pour écrire P(x) en fonction de x)
P(0)=d or P(0)=1 alors d=1

P(x+1)-P(x)=x²
P(1)-P(0)=0
P(1)=1
alors a+b+c+d=1
d=1 alors a+b+c=0

P(x+1)-P(x)=x² ,P(x)=ax^3+bx²+cx+d ,
on remplace les termes et on trouve finalement l'équation
a+b+c+3ax²+3ax+2bx-x²=0
a+b+c=0 alors 3ax²+3ax+2bx-x²=0
donc (3a-1)x²+(3a+2b)x=0

donc ici je bloque .. j'ai besoin de votre aide ! merci!!

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Je me pose la question de savoir si tu as déjà entendu parler de l'identification comme procédé pour trouver des constantes ?

Car en identifiant terme à terme le polynôme P(x+1)-P(x) avec le polynôme x², nous pouvons déduire les valeurs de a, b et c. Sachant que tu as déjà déduit la valeur de d.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

j'ai pas compris !!à quoi égale le polynôme P(x+1)-P(x) ?

Je vais prendre un exemple pour simplifier les choses.

Si je considère Q(x)=ax²+bx+c sachant Q(x)= x²

Serais-tu trouver les valeurs de a, b et c sans plus d'information ? (c'est exactement la capacité que permet la notion "d'identification en fait").

a=1 b=0 c=0
de meme logique
3ax²+3ax+2bx=x² donc 3a=1 a=1/3
(3a+2b)=0 b=0
c=-1/3 car a+b+c=0
c'est ca ?

Excellent !

En revanche, il y a une erreur de calcul, si a=1/3 et 3a+2b=0 alors b n'est pas égale à 0.
En effet, 3a=1 et non 0 si a=1/3.

Je n'ai pas refait tous les autres calculs mais en tout cas toute la méthode est juste.

Bonne continuation!

ouii b=-1/2
on a étudié l'identification aujourd'hui il parait que c'est un exercice de préparation ! en tous cas merci !

autre problème :
on pose P(x)=ax²+bx+c
1)déterminer a et b tels que P(x+1)-P(x)=-2x+1
2) en déduire que 1+3+5+....+2n-1=n²

1) P(x+1)-P(x) = 2ax+a+b=-2x+1
alors a =-1 , a+b=1 alors b=-2
par suite P(x)=ax²+bx+c=-x²-2x+c

2) P(x+1)-P(x)=-2x+1
eq à P(x)-P(x+1)=2x-1
eq à 1 = P(1)-P(2)
3 = P(2)-P(3)
5 = P(3)-P(4)
......
2(n-1)-1=P(n-1)-P(n)
2n-1= P(n)-P(n+1)
en additionnant 1+3+5+...+2(n-1)-1+2n-1 on trouve P(1)-P(n+1)
-1-2+c-[-(n+1)²-2(n+1)+c]=-1-2+c+n²+1+2n+2n+2-c = n²+4n !!!!!!!
je veux savoir où est la faute !

Bonjour,

La faute est dans la première question en fait. En effet, si a=-1 alors b=2 et non -2.
a+b=1 <=> -1 + b = 1 <=> b=2

Ensuite, la méthode de calcul pour la question 2) est tout à fait juste.

Bon courage!