fonction polynôme

soient a,b,c,d et e quatre entiers distinct, p le polynôme
p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)-1
*montrer que s'il existe 2 polynômes F et G tel que 1=<d°F<5 et 1=<d°G<5 tel que p(x)=f(x).g(x) alors F ou G est constant
ici j'ai pas compris la question .. quelqu'un peut m'aider ?

Bonjour,

(A titre informatif, la notion de polynôme telle qu'elle est abordée ici correspond à un niveau Bac+1 en France. Mais reste accessible à des premières avec un peu d'entraînement)

Le but de l'exercice est de montrer que ton polynôme P ne peut pas être factoriser tout simplement. C'est le même raisonnement que sur les entiers lorsqu'on chercher à montrer qu'ils sont premiers. En effet, si je prend un entier a premier et qu'il existe deux nombres b et c inférieurs ou égale à a tel que a=b*c alors soit b=1, soit c=1.

Ici, c'est le même principe saut qu'on polynôme est défini à une constante multiplicatrice près. En effet, si chez les entiers, le seul nombre ayant un inverse est 1, chez les réels tous les nombres sauf 0 admette un inverse. Du coup, on peut toujours factoriser un polynôme par une constante différente de 0.

Exemple: Q(x)=x+1 peut s'écrire Q=8*(x/8 + 1/8)

Cependant, il ne s'agit pas d'une factorisation telle qu'on peut l'attendre d'un polynôme où le but est d'avoir un produit de deux polynômes non constants.

Le but de l'exercice est de montrer que le polynôme p ne peut pas se factoriser en un produit de deux polynômes non constants et donc que si on suppose cette hypothèse vraie, la seule conclusion que nous puissions avoir sera que l'un des deux facteurs est un polynôme constant c'est à dire un réel.

Bon courage!

d'après ce que j'ai compris on a P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)-1=F(x).G(x)
P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=P(e) = -1
donc F(a).G(a) = -1 , or F(a) et G(a) sont des entiers alors on a deux hypothèses
F(a)=1 et G(a) = -1 ou F(a)=-1 et G(a)=1
donc F(a)+G(a)=0 .
de même pour b,c,d et e on a F+G=0
la question qui se pose ici, F+G est-t-elle toujours nulle ?

La question que je me pose pour ma part est celle-ci:

Pourquoi dis-tu ceci:

Citation :

F(a).G(a) = -1 , or F(a) et G(a) sont des entiers

?

En effet, d'après la forme de l'énoncé, rien ne précise que P(x) est forcément à valeur entière si x est entier. Il faudrait peut-être dire un mot sur le sujet avant de pouvoir l'affirmer.

Bon maintenant, combien de racines distinctes as-tu trouvé pour ton polynôme F+G ? Quel est le degré de ton polynôme F+G au maximum ?
A partir de là, ne peux-tu pas conclure?

Bon courage!

j'ai pensé qu'étant donné que F et G ont des coefficients entiers alors F(a) et G(a) sont des entiers non ?
ah ! le degré de F+G est strictement inférieurs à 5 donc F+G est forcément nulle donc P=-G² ou P=-F² ?

En effet, le fait que P soit à coefficients entiers, implique que lorsqu'on prendra un entier pour valeur de x, le résultat sera lui aussi un entier (c'est ce qu'on appelle une structure d'anneau pour la culture sur les entiers relatifs).

En effet, avec la réflexion sur le degré, on ne peut pas avoir 5 racines pour un polynôme de degré strictement inférieur à 5. Donc la conclusion est bonne par rapport à ton raisonnement.

Mais maintenant, comment conclure car rien ne précisait au départ qu'on ne pouvait pas avoir ce qu'on vient de trouver. Comment montrer que le raisonnement est mis en défaut c'est à dire avec quelle moyen nous allons pouvoir montrer que les deux égalités que nous venons de trouver sont fausses l'une comme l'autre (car c'est bien le but de la manœuvre tout de même) ?

Bon courage!

P et -F² n'ont pas la même degré ??

Ok ça marche !

En effet, le degré de F² est pair alors que le degré de P est impair ce qui permet donc de dire que l'égalité initiale est fausse. Il faut au moins que l'un des deux ait pour degré 5 c'est ce qu'on conclut ici et rien d'autre. En effet, le seul argument que nous avons utilisé est le fait que les deux polynômes étaient de degré strictement inférieur à 5. Donc la seule hypothèse mise en défaut par le raisonnement est celle-ci.

Pour conclure, on aurait pu aussi avoir une réflexion fonctionnelle. En effet, le coefficient dominant de P étant 1, il est donc positif. Par conséquent, la limite en +Inf de P(x) est +Inf. Du coup, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un entier (ou un réel) q tel que P(q)>0 ce qui contredit les deux égalités aussi.

En espérant que tout ceci soit clair en tout cas sinon n'hésite pas à poser tes questions si nécessaire.

Bonne continuation!

c'est bon ! merci bien )