Suite de rationnels

Bonsoir! =)
Pourriez vous encore une fois m'aider?

Voilà mon problème:
Soit xn une suite de nombres rationnels avec xn = pn/qn (pn E Z et qn E N*) convergeant vers x un irrationnel. Montrer que qn et |pn| tendent vers l'infini.

Je pense que le seul moyen de s'en sortir c'est de raisonner par l'absurde parce que le problème ne nous donne pas bcp d'informations mais je suis vraiment bloquée... Merci pour votre aide!

Bonjour,

Par l'absurde en effet si on suppose que (pn) et (qn) converge, que pouvons nous dire de ces deux limites ? On en conclut donc que (pn) et (qn) ne converge pas. Reste à montrer que ces deux suites diverge vers l'infini tout de même (car on pourrait avoir le cas où il n'y a pas de limite mais c'est exclu pourquoi?).

J'ai une vague trame ne tête je te l'avoue mais je ne sais pas si elle va aboutir à coup sûr. Sinon, je changerai d'idée pour revenir à des définition à l'aide d'epsilon (c'est peut-être d'ailleurs la meilleur façon de faire quand j'y pense mais bon à voir tout de même si on ne peut pas éviter).

Bon courage!

On ne pourrait pas dire que (qn) converge vers q et (pn) vers p donc x convergerait vers q/p qui n'est pas un irrationnel donc on a une contradiction.

Bonsoir,

La contradiction nous dit que les deux suites divergent. Mais sauf erreur de ma part, la suite ((-1)ⁿ) diverge mais pas vers l'infini. Il nous reste donc à montrer que les deux suites divergent vers l'infini.

Ce qui est simple à montrer, je pense, c'est que si le numérateur diverge vers l'infini en module alors le dénominateur diverge lui aussi vers l'infini. Et ensuite, on peut conclure en fait car si le numérateur ne diverge pas vers l'infini alors le dénominateur ne peut pas tendre vers l'infini sous peine d'annuler la limite ce qui amène la contradiction x=0 qui n'est pas un irrationnel. Ensuite, pourquoi le dénominateur ne pourrait pas diverger simplement? Je ne sais pas pour l'instant.

Qu'en penses-tu ?

Bon courage!

Je ne comprend pas bien de quelle contradiction vous parlez. Par l'absurde j'aurais plutot proposé de dire qu'on suppose que qn ne divergent pas vers plus l'infini, donc elle est bornée donc il existe une sous suite qui converge vers q, donc il existe pn <ou =q*xn donc pn est aussi bornée et on peut trouver une sous suite qui convergerait vers p donc xn convergerait vers p/q qui n'est pas un irrationnel.

Bonsoir,

En effet, c'est beaucoup plus simple ainsi! Je ne me souvenais pas qu'on voyait le fait qu'une suite bornée admet une sous suite convergente.

Du coup, c'est trivial en effet. On peut même le faire en une seule fois du coup en supposant que la suite est bornée et on arrive à une contradiction, c'est tout à fait exacte.

Comme quoi, dès qu'on ne pratique plus assez souvent, on finit par perdre ces réflexes en maths. Désolé en tout cas mais ta réponse est tout à fait correct, c'est le principale .

Bonne continuation!

Non je ne pense pas que mon raisonnement soit tout à fait juste =S
J'ai vraiment proposé ca vite fais, je pensais que vous alliez me reprendre. Je peux vraiment dire que si qn ne diverge pas vers plus l'infini alors la suite admet une sous suite convergente? Et convergente vers q?
=//

Merci pour votre aide!

Bonsoir,

Tu m'as donc dupé . Je pensais que tu avais vu le théorème du coup et ce n'est pas le cas à première vu. En effet, une suite qui ne diverge pas vers l'infini est bornée c'est presque par définition de ne pas divergé vers l'infini d'ailleurs.

Ensuite, on utilise le théorème suivant:

"De toute suite bornée de nombre réel, on peut extraire une sous suite convergente."

Ainsi, tu peux donc conclure que nos deux suites admettent des sous suites convergentes. Il suffit pour conclure d'extraire deux fois (par l'extractrice Phi par exemple puis par l'extractrice Psi) pour que les deux sous suites convergent bien en même temps.

J'espère que ceci est plus clair du coup.

Bon courage pour la suite!

Mais je ne comprend pas vraiment où se fait la contradiction dans votre raisonnement? Moi je pensais que ce serait parce que p/q est un rationnel...

Bonsoir,

Je n'ai jamais dit le contraire, je te répondais que tu avais bien le droit de dire que si on suppose les deux suites bornées, alors on peut en extraire des sous suites convergentes. Mais la contradiction se fait bien en effet en disant qu'ainsi, nous avons une sous suite convergente (x_phi(n)) qui converge vers p/q. Or par unicité de la limite de (x_n), on a donc x=p/q d'où la contradiction.

J'espère que ceci sera plus clair ainsi.

Bon courage!

Mais si on suppose que pn et qn ne tendent pas vers plus l'infini comme dans l'enoncé on peut vraiment dire que ces suites sont bornées? =// parce qu'elles pourrait tendrent vers - l'infini non?

Bonsoir,

Relis les hypothèses sur ces deux suites et ce qu'on cherche à montrer. Si on suppose que (qn) et (|pn|) ne tend pas vers +Inf alors c'est forcément bornée par définition même de "ne pas tendre vers l'infini".

Il faut bien mettre en évidence les hypothèses qu'on a dans l'énoncé quitte à les réécrire pour être sûr de bien les avoir vu et compris. ET surtout, il faut en prendre compte aussi souvent que faire se peut si ce n'est pas tout le temps.

Bon courage pour la suite!