Integrale

Bonjour

J'ai un exercice sur les intégrales a faire et il y a des question que je n'arrive pas a résoudre...

Voici l'énoncé : http://hpics.li/edb8ac8

Voila ce que j'ai fait :

1. a) f(x) = exp(-x)/2-x

f(x) = u/v avec u= exp(-x) donc u'=-exp(-x)
v = 2-x donc v' = -1

f'(x) = (u'v-uv')/(v)²

f'(x) = (-exp(-x)*(2-x)-[exp(-x)*(-1)])/(2-x)²

f'(x) = (-2exp(-x) + x*exp(-x) + exp(-x))/(2-x)²

f'(x) = (exp(-x)*(x-1))/(2-x)²

pour tout x compris entre 0 et 1 on a f'(x) inférieure ou égale a 0 donc f décroissante dans l'intervalle [0;1]

b) pour la celle-ci j'ai calculer les f(x) pour x=0 et x=1 et on trouve :

f(0) = exp(0)/2 = 1/2
f(1) = exp(-1)/1 = exp(-1) = 1/exp(1)

donc pour x compris entre [0;1] f(x) est compris entre [1/e;1/2]

2. a) c'est la que je bloque je n'arrive pas a trouver J = 3-4/e

je fait :

J=∫(de 0 a 1) u'(x)v(x) dx (formule d'intégration par partie)

J= [u(x)v(x)](de 0 a 1) - ∫(de 0 a 1) u(x)v'(x) dx

avec u'(x) = exp(-x) u(x) = exp(-x)
v(x) = (2+x) v'(x) = 1

donc on a : J=[exp(-x)*(2+x)](de 0 a 1) - ∫(de 0 a 1) exp(-x) dx

J = 3exp(-1) - 2exp(0) - [exp(-x)](de 0 a 1)

Je trouve a la fin J= 2exp(-1) -exp(0)

J'ai du faire une erreur quelque part...

Merci

Bonsoir,

La partie liée à l'étude de fonction est juste. Pour une question de rigueur, tu pourrais presque dire:

0<x<1
Donc F(0)>F(x)>F(1) vu que F est décroissante.
D'où la conclusion.

Mais bon, ta démonstration est juste, il manque juste le fait que la fonction est décroissante pour être sur que le calcul des extrémités de l'intervalle suffit.

Pour l'intégration par partie, l'erreur est "toute bête":

Citation :

u'(x) = exp(-x) u(x) = exp(-x)

Peux-tu dériver u(x) pour tout x dans [0;1] ?
Retrouves-tu la fonction u' ?

Je te laisse corriger l'erreur et cela devrait être juste du coup.

Bon courage!

Ah oui des erreurs comme sa sa pardonne pas heureusement que ce n'était pas le jour de l'épreuve enfin bref...

On a donc :

u'(x) = exp(-x) u(x) = -exp(-x)
v(x) = (2+x) v'(x) = 1

et donc on a :

J=[-exp(-x)*(2+x)](de 0 a 1) - ∫(de 0 a 1) -exp(-x) dx

J = -3exp(-1) + 2exp(0) - [exp(-x)](de 0 a 1)

J = -3exp(-1) + 2exp(0) - exp(-1) +exp(0)

J = -4exp(-1) + 3exp(0)

J = 3 - 4/e

Pour la b) il est dit qu'il faut partir de l'encadrement de f(x) mais je vois pas quoi faire après...

Bonsoir,

En effet, les erreurs de signes arrivent de temps en temps mais bon, il faut savoir relire ses calculs avant de les valider ou après les avoir écrit pour les éviter, tout simplement.

Tout est juste du coup.

Pour la suite, que sais-tu de l'intégrale ? Croissante ou décroissante ?
Du coup, nous pouvons nous servir de l'encadrement que nous avons fait de F(x), il ne reste plus qu'à multiplier par x² pour avoir l'encadrement de la fonction sous l'intégrale.

Bon courage!

Bonsoir

Ok je vois comment faire alors :

1/e ≤ f(x) ≤ 1/2

comme l'intégrale est croissante on ne change pas le sens des inégalitées et on a alors :

∫(de 0 a 1)1/e ≤ ∫(de 0 a 1)f(x) ≤ ∫(de 0 a 1)1/2

on multiplie le tout par x² on a :

∫(de 0 a 1)x²/e ≤ K ≤ ∫(de 0 a 1)x²/2

<=> [(x^3)/3e](de 0 a 1) ≤ K ≤ [(x^3)/6](de 0 a 1 )

<=> 1/3e ≤ K ≤ 1/6

alors ?

De plus pour la c) j'ai fait cela :

J+K = ∫(de 0 a 1) (2+x)exp(-x) dx + ∫(de 0 a 1) x²*f(x) dx

<=> ∫(de 0 a 1) (2+x)exp(-x) + x²*f(x) dx ( par linéarité)

<=> ∫(de 0 a 1) [4exp(-x) - 2x*exp(-x) + 2x*exp(-x)- x²exp(-x) + x²exp(-x)]/2-x ( j'ai sauté des étapes...)

<=> ∫(de 0 a 1) 4exp(-x)/2-x

J+K = 4I

Et enfin pour la dernière question j'ai essayé sa :

J+K = 4I

<=> I = (J+K)/4

donc on a :

1/3e ≤ K ≤ 1/6

<=> (1/3e) + J ≤ 4I ≤ (1/6) + J

<=> (-3+9e)/12e ≤ I ≤ (19e-24)/6e

<=> ≈ 0.66 ≤ I ≤ ≈ 1.69

donc I ≈ 1.18

Merci

Il va être préférable de multiplier par x² avant d'intégrer sinon, tu n'intègre pas x² ce qui serait regrettable vu la réponse attendue.

Tout le reste est juste sauf l'encadrement. Il y a eu des erreurs de calculs dans l'encadrement.

Je te laisse revoir cela mais sinon, il s'agit d'un bon travail !

Citation :

Il va être préférable de multiplier par x² avant d'intégrer sinon, tu n'intègre pas x² ce qui serait regrettable vu la réponse attendue.

Oui tu as raison car sinon on obtient pas la même chose que l'exo...

Citation :

Tout le reste est juste sauf l'encadrement. Il y a eu des erreurs de calculs dans l'encadrement.

L'encadrement de I c'est sa ???

En effet, l'encadrement de I, il y a une erreur de calcul dans les deux bornes (la division par 4 a été mal faite ou la mise au même dénominateur, j'hésite encore entre les deux fautes).

Bon courage pour finaliser ce problème!

Citation :

<=> (-3+9e)/12e ≤ I ≤ (19e-24)/6e

<=> ≈ 0.66 ≤ I ≤ ≈ 1.69

donc I ≈ 1.18

Oui c'est a ce niveau la je crois en faite je dois obtenir cela :

(-11+9e)/12e ≤ I ≤ (19e-24)/24e

≈ 0.41 ≤ I ≤ ≈ 0.42

I ≈ 0.42

Bonsoir,

C'est déjà plus cohérent avec la dernière question vu que l'écart est d'un centième ce que nous attendions en fait.

Cet exercice avait pour but de te montrer qu'on pouvait aussi trouver des valeurs approchées d'intégrale sans pour autant calculer l'intégrale elle-même ce qui peut avoir un avantage lorsqu'on ne peut pas calculer les dites intégrales.

Bonne continuation!

Ahhh oui je me disais bien qu'une valeur d'une intégrale compris entre 0.66 et 1.69 semblait bizarre...

En tout cas merci pour l'aide que tu m'a apportée.