Autre exercice intégrale

Salut!
Voici un autre exercice sur les intégrales mais, celui-là je n'arrive même pas à le commencer et pourtant j'ai cherché... J'ai refait la figure et, m'a permis de faire une des 3 questions... J'ai vraiment du mal à comprendre les intégrales...

Voici l'énoncé :


On a sur le dessin ci-dessous la droite d'équation y = x² et les tangentes D₁ et D₂ aux points d'abscisse -1 et 2 (A et B sur le dessin)
On pose C le point d'intersection de D₁ et D₂.



1. Calculer l'aire A₁ de la partie hachurée.
2. Déterminer des équations des droites D₁ et D₂, ainsi que les coordonnées de C.
3. Déterminer l'aire A₂ de ABC, on introduira la droite verticale passant par C et on fera le calcul de cette aire en deux parties).
Ecrire A₁ en fonction de A₂



Et voici mes réponses :

1. S(-1 ; 2) f(x) dx = S(-1 ; 2) dx
A part ça, le flou total....

2. Ici par contre ça marche bien :

Equation de tangente :


avec f(x) = x² et f'(x) = 2x


--> D₁ tangente en -1 :

y = f'(-1)[x - (-1)] + f(-1)
y = -2 ( x + 1) + 1
y = -2x - 2 + 1 = -2x - 1



--> D₁ tangente en 2 :

y = f'(2)[x - 2] + f(2)
y = 4 ( x + 2) + 4
y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4

Je cherche maintenant les coordonnées de C, point d'intersection de D₁ et D₂ :

-2x -1 = 4x - 4
4x + 2x = 4 - 1
6x = 3
x = 3/6 = 1/2
C aura pour abscisse x = 1/2
--> Reste à trouver l'ordonnée :

y = 4x - 4 avec x = 1/2
y = 4 * (1/2) - 4
y = 2 - 4 = -2

DONC :
C( 1/2 ; -2) --> Correct en vue de la figure.


3) On me dit de séparer ABC en deux autres triangles avec la droite verticale passant par C : D₃ d'équation x = 1/2.

Je note D le point d'intersection de la droite (AB) et de la droite D₃.

Pour déterminer l'aire de ACE, j'ai besoin des longueurs AC et de la hauteur du triangle car aire triangle = (Base * hauteur) / 2
Là, je bloque aussi...



J'ai pas mal de difficultés sur les intégrales et là, j'ai encore besoin d'un ptit coup de pouce svp..

Bonsoir,

La deuxième question est tout à fait juste.

Pourl a première question à quoi correspond le calcul de ton intégrale? Qu'est-ce que cela représente concrètement sur le dessin?

1) Cela revient à calculer l'intégrale de x² sur l'intervalle [-1 ; 2] ??

Bonjour,

Celà n'est pas ma question mais si tu veux calculer cette intégrale, il faudrait savoir à quoi elle correspond concrètement ce qui est ma question en fait.

Comme tu le mets sur l'autre sujet, l'intégrale équivaut à l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses

C'est tout à fait ça.

Donc en fait, celà correspond ici à l'aire délimitée par la courbe en haut, par l'axe des abscisses en bas et à gauche et à droite par deux droites verticales d'équation repsectivement: x=-1 et x=-2.

Donc calculer l'intégrale nous donnera par tout à fait ce qu'on veut. Mais par contre, il y a moyen de s'en servir pour calculer l'aire qu'on cherche.

En effet, si on arrive à calculer l'aire du trapèze rectangle délimité par x=-1, x=2, l'axe des abscisses et la droite (AB), nous allons pouvoir à l'aide du calcul de l'intégrale déduire la partie qu'on cherche, non ?

Aire trapèze = (Base + base)/ 2 * h
avec h = 3

Je dois trouver les coordonnées de A et B pour déterminer Base et base.

--> A d'abscisse -1 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (-1)² = 1
A(-1 ; 1)

--> A d'abscisse 2 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (2)² = 4
A(2 ; 4)

donc :

Base = 4
base = 1

DONC :

Aire Trapèze = (4+1)/2 * 3 = 5/2 *3 = 15/2 = 7.5 u.a.


La partie hachurée a une aire égale à Aire du trapèze - Intégrale de x² sur [-1 ; 2]

Je dois donc calculer : S(-1 ; 2) x² dx

Et là, je fais comment? Je dois employer la primitive?

C'est tout à fait ça !!

Alors le calcul d'intégrale du style ∫_a^b f(x) dx= F(b)-F(a) avec F primitive de f c'est à dire que pour tout x dans l'ensemble de définition de f, F'(x)=f(x).

Donc quelle est la primitive de f(x)=x² ?

la primitive de x² est : F(x) = (1/3)x³

C'est tout à fait juste!

Il n'y a plus qu'à finaliser cette question .

Aire trapèze = (Base + base)/ 2 * h
avec h = 3

Je dois trouver les coordonnées de A et B pour déterminer Base et base.

--> A d'abscisse -1 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (-1)² = 1
A(-1 ; 1)

--> A d'abscisse 2 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (2)² = 4
A(2 ; 4)

donc :

Base = 4
base = 1

DONC :

Aire Trapèze = (4+1)/2 * 3 = 5/2 *3 = 15/2 = 7.5 u.a.


La partie hachurée a une aire égale à Aire du trapèze - Intégrale de x² sur [-1 ; 2]

Je dois donc calculer : S(-1 ; 2) x² dx = [ (1/3)x³ ] (-1 : 2)

donc : S(-1 ; 2) x² dx = (-1/3) - ( 8/3) = -9/3 u.a. Normal ce moins?

Ta remarque est tout à fait juste, une aire négative c'est louche vu qu'il s'agit bien ici d'une aire vu que notre fonction (f(x)=x²) est positive.

Ton erreur vient de l'intégration. En effet:

∫_a^b f(x) dx= F(b)-F(a)

Donc ∫_-1² f(x) dx= F(2)-F(-1)

On commence par la borne supérieure et on soustrait la borne inférieure.

Je te laisse reprendre ton calcul.

Bon courage!

Aire trapèze = (Base + base)/ 2 * h
avec h = 3

Je dois trouver les coordonnées de A et B pour déterminer Base et base.

--> A d'abscisse -1 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (-1)² = 1
A(-1 ; 1)

--> A d'abscisse 2 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (2)² = 4
A(2 ; 4)

donc :

Base = 4
base = 1

DONC :

Aire Trapèze = (4+1)/2 * 3 = 5/2 *3 = 15/2 = 7.5 u.a.


La partie hachurée a une aire égale à Aire du trapèze - Intégrale de x² sur [-1 ; 2]

Je dois donc calculer : S(-1 ; 2) x² dx = [ (1/3)x³ ] (-1 : 2)

donc : S(-1 ; 2) x² dx = ( 8/3) - (-1/3) = 9/3 u.a.

Je peux donc trouver l'aire de la partie hachurée :

Aire du trapèze - Intégrale de x² sur [-1 ; 2]
= 7.5 - 9/3 = 13.5/3 u.a.

C'est bien ça mais un conseil soit tu laisses tout en fraction soit tu donnes une valeur approchée mais met pas de virgule dans une fraction cela donne un visuelle pas très esthétique dira-t-on.

On avait dit que la question 2) était nickel mis à par que l'équation d'une tangente c'est y=f'(a)*(x-a) + f(a) (il y avait un peu trop de x dans ta formule même si par la suite l'erreur c'est vue corrigée sans soucis).

Sinon pour la question 3), on introduit donc une nouvelle droite passant par C et qui a pour équation d'après ton calcul: x=1/2.

Si on veut calculer l'aire en deux partie c'est qu'il doit y avoir une raison quelque part, est-ce qu'on ne pourrait pas calculer les coordonnées de ton point D intersection de ta droite avec (AB) pour voir où il se situe par exemple.

Aire trapèze = (Base + base)/ 2 * h
avec h = 3

Je dois trouver les coordonnées de A et B pour déterminer Base et base.

--> A d'abscisse -1 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (-1)² = 1
A(-1 ; 1)

--> A d'abscisse 2 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (2)² = 4
A(2 ; 4)

donc :

Base = 4
base = 1

DONC :

Aire Trapèze = (4+1)/2 * 3 = 5/2 *3 = 15/2 = 7.5 u.a.


La partie hachurée a une aire égale à Aire du trapèze - Intégrale de x² sur [-1 ; 2]

Je dois donc calculer : S(-1 ; 2) x² dx = [ (1/3)x³ ] (-1 : 2)

donc : S(-1 ; 2) x² dx = ( 8/3) - (-1/3) = 9/3 u.a.

Je peux donc trouver l'aire de la partie hachurée :

Aire du trapèze - Intégrale de x² sur [-1 ; 2]
= 7.5 - 9/3 = 4.5 u.a.



Equation de tangente :


avec f(x) = x² et f'(x) = 2x


--> D₁ tangente en -1 :

y = f'(-1)[x - (-1)] + f(-1)
y = -2 ( x + 1) + 1
y = -2x - 2 + 1 = -2x - 1



--> D₁ tangente en 2 :

y = f'(2)[x - 2] + f(2)
y = 4 ( x + 2) + 4
y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4

Je cherche maintenant les coordonnées de C, point d'intersection de D₁ et D₂ :

-2x -1 = 4x - 4
4x + 2x = 4 - 1
6x = 3
x = 3/6 = 1/2
C aura pour abscisse x = 1/2
--> Reste à trouver l'ordonnée :

y = 4x - 4 avec x = 1/2
y = 4 * (1/2) - 4
y = 2 - 4 = -2

DONC :
C( 1/2 ; -2) --> Correct en vue de la figure.


3) Je sais que : C( 1/2 ; -2)

Je vais calculer les coordonnées de D intersection de (AB) et la droite d'équation x = 1/2

-2x - 1 = 1/2
-2x = 1/2 + 1
-2x = 3/2
x = (3/2) /-2 = -3/4

Alors D est sur la droite (AB) et non sur l'une des tangentes.

Cependant, cette histoire de droite qui découpe notre triangle ne deux pour calculer son aire me laisse assez perplexe alors que calculer l'aire directement est tout à fait faisable en fait.

Alors essayons de la faire en direct et je vais réfléchir à leur idée qui ne m'inspire pas pour le moment.

Pour calculer l'aire de notre triangle, il nous suffit d'avoir la longueur d'une des hauteurs et bien considérons celle issue de C par exemple. Il s'agit donc d'une droite perpendiculaire à (AB) passant par C.

On sait que l'équation d'une droite est de la forme y=a*x+b et il va nous falloire calculer le coefficient directeur de la droite (AB)

Car je rappelle que deux droite sont perpendiculaire si la multiplication de leur coefficient directeur est égale à -1.

Aire trapèze = (Base + base)/ 2 * h
avec h = 3

Je dois trouver les coordonnées de A et B pour déterminer Base et base.

--> A d'abscisse -1 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (-1)² = 1
A(-1 ; 1)

--> A d'abscisse 2 est sur la courbe y = x² donc, son ordonnée est :
y = (2)² = 4
A(2 ; 4)

donc :

Base = 4
base = 1

DONC :

Aire Trapèze = (4+1)/2 * 3 = 5/2 *3 = 15/2 = 7.5 u.a.


La partie hachurée a une aire égale à Aire du trapèze - Intégrale de x² sur [-1 ; 2]

Je dois donc calculer : S(-1 ; 2) x² dx = [ (1/3)x³ ] (-1 : 2)

donc : S(-1 ; 2) x² dx = ( 8/3) - (-1/3) = 9/3 u.a.

Je peux donc trouver l'aire de la partie hachurée :

Aire du trapèze - Intégrale de x² sur [-1 ; 2]
= 7.5 - 9/3 = 4.5 u.a.



Equation de tangente :


avec f(x) = x² et f'(x) = 2x


--> D₁ tangente en -1 :

y = f'(-1)[x - (-1)] + f(-1)
y = -2 ( x + 1) + 1
y = -2x - 2 + 1 = -2x - 1



--> D₁ tangente en 2 :

y = f'(2)[x - 2] + f(2)
y = 4 ( x + 2) + 4
y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4

Je cherche maintenant les coordonnées de C, point d'intersection de D₁ et D₂ :

-2x -1 = 4x - 4
4x + 2x = 4 - 1
6x = 3
x = 3/6 = 1/2
C aura pour abscisse x = 1/2
--> Reste à trouver l'ordonnée :

y = 4x - 4 avec x = 1/2
y = 4 * (1/2) - 4
y = 2 - 4 = -2

DONC :
C( 1/2 ; -2) --> Correct en vue de la figure.


3) Je sais que : C( 1/2 ; -2)

Je ne saisis pas trop là par contre...

Bonsoir,

Alors pour la question suivante, on cherche à calculer l'aire de ABC, il s'agit d'un triangle donc sont aire c'est logiquement (base*hauteur)/2. Donc si on met en évidence une hauteur et qu'on calcul sa distance, on pourra déduire l'aire de notre triangle.

Ce n'estp as ce qui est proposé par ton indication mais c'est un moyen de réviser comment on trouve des équation de droite perpendiculaire en connaissant un point et la droite à laquelle est elle est perpendiculaire.


Donc je te proposais de trouver l'équation de la droite perpendiculaire à (AB) passant par C. Et pour celà, on a besoin du coefficient directeur de (AB) pour déduire le coefficient directeur de notre hauteur et des coordonnées de C pour déduire son ordonnée à l'origine.

On a déjà les coordonnée de C, il nous reste doncà avoir le coefficient directeur de la droite (AB) pour ne déduire celui de notre hauteur d'après la propriété que j'ai rappelée dans mon dernier message.

Nous verrons sans doute par la suite un autre moyen de trouver cette aire à partir de l'indication de ton exercice mais pour le mometn je trouve que mon alternative évite le calcul d'intégrale ce qui peut être une solution de secours au cas où tu as un trou de mémoire sur l'intégration.

Je cherche le coefficient directeur de (AB) soit sa pente :

Avec A( -1 ; 1 ) et B( 2 ; 4 )

y = (y_B - y_A) / (x_B - x_A)
y = (4 - 1) / (2 - (-1)) = 3 / 3 = 1

C'est tout à fait ça!

Maintenant, on sait que:

deux droites sont perpendiculaires si la multiplication de leur coefficient directeur est égale à -1.

Donc le coefficient de notre hauteur vaut forcément a=-1 (il est négatif ce qui est cohérent vu que notre droite est décroissante). On a donc une équation de notre hauteur qui est de la forme:

y=-x +b

Or, on sait que notre hauteur passe par C(1/2;-2). Donc les coordonnées de C vérifie cette équation ce qui nous donne -2=-1/2 +b <=> b=-3/2

Donc notre hauteur à pour équation y=-x-3/2


Maintenant, il nous reste à calculer les coordonnées du point d'intersection de notre hauteur avec notre base (AB). Appelons ce point D.

On sait déjà que le coefficient directeur de notre droite (AB) est 1, donc (AB) à pour équation y=x+b'

Or A(-1,1) appartient à (AB) donc 1=-1+b' <=> b'=2

Donc (AB): y=x+2 et on sait que notre hauteur à pour équation y=-x-3/2

Il ne reste plus qu'à trouver les coordonnées de notre point c'est à dire résoudre notre système.

Et dès qu'on aura les coordonnées de notre point et bien l'aire de ABC sera donnée par [AB*CD]/2 tout simplement.


Maintenant, la méthode qu'il propose devrait nous donner le même résultat mais comment s'en servir?

Et bien il faut savoir que lorsqu'une courbe est au-dessous de l'axe des abscisses, le calcul de l'intégrale nous donne l'opposé de l'aire contenu entre la courbe et l'axe des abscisses.

Par conséquent, si je calcule l'aire de notre triangle ABC en deux partie, l'une comprise entre -1 et 1/2 et l'autre comprise entre 1/2 et 2, nous avons dans les deux parties deux courbes qui délimite la zone, (AB), D₁ et (AB), D₂.

On constate d'ailleurs que lorsque je vais calculer l'aire sous (AB) entre -1 et 1/2 (qui est donc calculer par l'intégrale de x+2 entre -1 et 1/2), il va y avoir une partie en dehors de l'aire de notre triangle mais cette partie sera annulée lorsqu'on calculera l'aire au-dessus de la droite D₁ c'est à dire l'opposé de l'aire sous la droite D1 (qui est donc calculer par moins l'intégrale de -2x-1 entre -1 et 1/2).

En faisant le même raisonnement sur l'autre partie et en additionnant les deux partie nous allons retrouver le même résultat que nous avions trouver à l'aide de la hauteur issue de C.

Je te laisse faire les calculs et le résultat est 27/4 pour l'aire de ABC si je ne me suis pas trompé ce qui te permettra de vérifier tes deux calculs d'ailleurs.

Bon courage!

Je cherche le coefficient directeur de (AB) soit sa pente :

Avec A( -1 ; 1 ) et B( 2 ; 4 )

y = (y_B - y_A) / (x_B - x_A)
y = (4 - 1) / (2 - (-1)) = 3 / 3 = 1

Citation :

Deux droites sont perpendiculaires si la multiplication de leur coefficient directeur est égale à -1.

Donc le coefficient de notre hauteur vaut forcément a=-1.

On a donc une équation de notre hauteur qui est de la forme: y=-x +b

Or, on sait que notre hauteur passe par C(1/2;-2). Donc les coordonnées de C vérifie cette équation ce qui nous donne -2=-1/2 +b <=> b=-3/2

Donc notre hauteur à pour équation y=-x-3/2


Maintenant, il nous reste à calculer les coordonnées du point d'intersection de notre hauteur avec notre base (AB). Appelons ce point D.

On sait déjà que le coefficient directeur de notre droite (AB) est 1, donc (AB) à pour équation y=x+b'

Or A(-1,1) appartient à (AB) donc 1=-1+b' <=> b'=2

Donc (AB): y=x+2 et on sait que notre hauteur à pour équation y=-x-3/2

Je cherche les coordonnées de D : D

x+2 = -x-3/2
2x = -3/2 - 2
2x = -7/2
x = (-7/2)/2 = -7/4

Je peux maintenant calculer l'aire de ABC :

Aire = [AB*CD]/2

avec AB = Racine[ (y_B - y_A) + (x_B - x_A) ] --> Je me sers de ca pour trouver les longueurs AB et CD?

Bonsoir,

Ta démarche est tout à fait juste et c'est en effet la bonne formule pour calculer les distances. Il ne reste plus qu'à concrétiser pour la première méthode pour calculer l'aire de notre triangle.

Nous verrons la deuxième plus en détail vu qu'elle colle plus à ce qu'ils attendent je pense vu que nous sommes dans le chapitre sur l'intégration mais bon tous les chemins mènent au résultat après tout .

Bon courage!

Donc :

AB = Racine[ (y_B - y_A)² + (x_B - x_A)² ]
avec A (-1 ; 1) et B (2 ; 4)

AB = Racine[ (4 - 1)² + (2 - (-1))² ] = Racine [ 3² + 3²] = Racine(18) = 2Racine(3)

Reste à trouver CD :

CD = Racine[ (y_D - y_C)² + (x_D - x_C)² ]

C(1/2;-2)
D(-7/4 ; y_D)

avec :

y_D = -x-3/2 = +7/4 - 3/2 = 7/4 - 6/4 = 1/4

Donc : D(-7/4 ; 1/4)

DONC :

CD = Racine[ (1/4 - (-2))² + ( -7/4 - 1/2)² ] = Racine [ (1/4 + 2)² + (-7/4 - 2/4)² ] = Racine [ (9/4)² + (-9/4)² ] = Racine[ 81/16 + 81/16] = Racine [ 162 / 16] = Racine[81/8]

Ca semble correct pour l'instant?

Bonjour,

Attetion au erreur d'inattention:

Citation :

Racine(18) = 2Racine(3)

18=2*9 => Racine(18)=3*Racine(2)

sinon, l'autre calcul est juste mais on peut mieux faire:

Racine[ 81/16 + 81/16]= Racine[2*(81/16)]= (9/4)*Racine(2)

Normalement tout m'a l'air juste pour le moment, ce qui donnerait donc:

AB=3*Racine(2) et CD=(9/4)*Racine(2)

Il ne reste plus qu'à finaliser le calcul de notre aire et on va retrouver ce que je t'avais donné dans mon grand message explicatif un peu au-dessus.

Bon courage!

Donc :

AB = Racine[ (y_B - y_A)² + (x_B - x_A)² ]
avec A (-1 ; 1) et B (2 ; 4)

AB = Racine[ (4 - 1)² + (2 - (-1))² ] = Racine [ 3² + 3²] = Racine(18) = 3Racine(2)

Reste à trouver CD :

CD = Racine[ (y_D - y_C)² + (x_D - x_C)² ]

C(1/2;-2)
D(-7/4 ; y_D)

avec :

y_D = -x-3/2 = +7/4 - 3/2 = 7/4 - 6/4 = 1/4

Donc : D(-7/4 ; 1/4)

DONC :

CD = Racine[ (1/4 - (-2))² + ( -7/4 - 1/2)² ] = Racine [ (1/4 + 2)² + (-7/4 - 2/4)² ] = Racine [ (9/4)² + (-9/4)² ] = Racine[ 81/16 + 81/16] = Racine[81/8] = Racine[2*(81/16)]= (9/4)*Racine(2)

DONC :

AB=3*Racine(2) et CD=(9/4)*Racine(2)

--> Aire triangle ABC :


Aire = [AB*CD]/2
Aire = [ 3*Racine(2) * (9/4)*Racine(2) ] / 2
Aire = 27/4 * 2 = 54 / 4 cm³