Autre exercice intégrale

Tu as oublié la division par 2 en route j'ai l'impression .

Sinon, le reste est juste!

Maintenant, la méthode qu'il propose devrait nous donner le même résultat mais comment s'en servir?

Et bien il faut savoir que lorsqu'une courbe est au-dessous de l'axe des abscisses, le calcul de l'intégrale nous donne l'opposé de l'aire contenu entre la courbe et l'axe des abscisses.

Par conséquent, si je calcule l'aire de notre triangle ABC en deux partie, l'une comprise entre -1 et 1/2 et l'autre comprise entre 1/2 et 2, nous avons dans les deux parties deux courbes qui délimite la zone, (AB), D1 et (AB), D2.

On constate d'ailleurs que lorsque je vais calculer l'aire sous (AB) entre -1 et 1/2 (qui est donc calculer par l'intégrale de x+2 entre -1 et 1/2), il va y avoir une partie en dehors de l'aire de notre triangle mais cette partie sera annulée lorsqu'on calculera l'aire au-dessus de la droite D1 c'est à dire l'opposé de l'aire sous la droite D1 (qui est donc calculer par moins l'intégrale de -2x-1 entre -1 et 1/2).

En faisant le même raisonnement sur l'autre partie et en additionnant les deux partie nous allons retrouver le même résultat que nous avions trouver à l'aide de la hauteur issue de C.


Bon courage!

Donc :

AB = Racine[ (y_B - y_A)² + (x_B - x_A)² ]
avec A (-1 ; 1) et B (2 ; 4)

AB = Racine[ (4 - 1)² + (2 - (-1))² ] = Racine [ 3² + 3²] = Racine(18) = 3Racine(2)

Reste à trouver CD :

CD = Racine[ (y_D - y_C)² + (x_D - x_C)² ]

C(1/2;-2)
D(-7/4 ; y_D)

avec :

y_D = -x-3/2 = +7/4 - 3/2 = 7/4 - 6/4 = 1/4

Donc : D(-7/4 ; 1/4)

DONC :

CD = Racine[ (1/4 - (-2))² + ( -7/4 - 1/2)² ] = Racine [ (1/4 + 2)² + (-7/4 - 2/4)² ] = Racine [ (9/4)² + (-9/4)² ] = Racine[ 81/16 + 81/16] = Racine[81/8] = Racine[2*(81/16)]= (9/4)*Racine(2)

DONC :

AB=3*Racine(2) et CD=(9/4)*Racine(2)

--> Aire triangle ABC :


Aire = [AB*CD]/2
Aire = [ 3*Racine(2) * (9/4)*Racine(2) ] / 2
Aire = 27/4 * 2 / 2 = 27 / 4 cm³

Maintenant, c'est bon il me semble.





Wahou, ça a l'air compliqué cette autre méthode...

Alors la méthode que je t'ai donnée est une méthode passe partout mais qui est sommes toute un longue à mettre en place et à expliquer dans un devoir.

Et ici, il te propose donc une autre méthode qui est un peu plus complexe en la regardant car elle utilise les intégrales qui est une notion nouvelle pour toi mais après habitude tu sauras repérer se genre de chose.

On sait qu'une intégrale pour une fonction positive c'est égale à l'aire sous la courbe. Donc si on intègre entre l'abscisse du point A et l'abscisse du point B, la fonction qui est représentée par la droite (AB), on aura l'aire comprise entre la droite (AB), l'axe des abscisses et les droite x=x_A et x=x_B.

Mais on constate que par rapport à l'aire du triangle, il manque une partie et il y a deux partie en trop. Et bien, on va coupé en deux notre intervalle pour s'arrêter à l'abscisse de C vu qu'il y a un changement de droite délimitant le triangle tout simplement.

Maintenant, on constate que la tangente issu de A passe au-dessous de l'axe des abscisse pour arriver jusqu'au point C. Or nous on sait que l'aire sous une courbe au-dessus de l'axe des abscisses c'est égal à une intégrale mais lorsqu'elle est au-dessous c'est égal à quoi??

En fait, c'est simple! Lorsqu'une courbe représentative d'une fonction f est au-dessous de l'axe des abscisses, on sait que g=-f donnera une courbe représentative au-dessus de l'axe des abscisses. Et par conséquent l'intégrale de g est égale à moins l'intégrale de f sur les même borne tout simplement.

Conclusion l'aire d'une courbe au-dessous de l'axe des abscisses c'est égale à moins l'intégrale de la fonction.

Et on constate qu'en calculant cette intégrale là, on a aussi une partie qui est positive et qui va donc être soustraite ce qui nous arrange car tout au début cette partie là, on l'avait prise en compte en calculant notre première intégrale.

Et c'est la même chose sur l'autre partie comprise entre C et B.

On a donc 3 intégrale à calculer et on va soustraire les deux dernière à la première.

Est-ce que tu comprends le principe?

Salut!
Désolé pour l'absence et, j'ai pas pu prévenir donc désolé...

Mais reprenons :


En fait, on a une relation de Chasles mais avec des intégrales.

Citation :

Or nous on sait que l'aire sous une courbe au-dessus de l'axe des abscisses c'est égal à une intégrale mais lorsqu'elle est au-dessous c'est égal à quoi??

On a une valeur négative de l'intégrale : -Aire.

Citation :

on sait que g=-f

Ca va j'avais pas tort

Et oui, je comprends le principe

Bonjour,

Il n'y a pas de soucis ne t'inquiète pas.

Si tu comprends le principe c'est déjà une bonne chose. a partir de là, quelle va être l'aire de la partie gauche du triangle en fonction de deux intégrales? Quand je parle de partie gauche, j'entends la partie délimité par la droite d'équation x=1/2.

Bon courage!

J'ai compris le truc mais, je ne vois pas comment faire ici...

L'intégrale sur cette zone nous donnera l'aire entre x² et l'axe des abscisses mais, le reste je ne vois pas et pourtant j'ai relu l'explication

Alors voici le même schémas que le tien avec quelque petite chose en plus:



Et j'aimerai que tu me donnes l'aire du triangle à l'aide de A1, A2, A3, A4 et l'aire sous la courbe d'équation y=x².

Après le but sera d'exprimer les aires en questions à partir d'intégrale mais nous verrons cela après à la rigueur.

Bon courage!

Aire Triangle de gauche = S(-1 ; 1/2) x² - A1 + A2 + Une partie hachurée en rouge de la courbe.

Alors c'est tout à fait juste!

Alors garde bien en mémoire cela car ça servir pour la dernière question. Mais nous on va faire plus simple pour cette partie gauche, on va oublier la fonction carré pour ne garder que trois fonction:

- équation de la tangente en A
- équation de la tangente en B
- équation de la droite (AB)

On constate que pour la partie gauche, l'équation de la tangente en B n'a pas d'utilité.

On a donc: Partie de gauche= Aire sous la droite (AB) comprise entre -1 et 1/2 - A1 + A2

Maintenant, il faudrait avoir le lien avec les intégrales pour calculer ses aires car sinon nous n'allons pas pouvoir les calculer.

Une idée?

Il faut trouver l'équation de la tangente en A pour ensuite calculer son intégrale :

y = f'(a)(x-a) + f(a)

avec f(a) = (-1)² = 1 donc f'(a) = 2 car a = -1
DONC :

y = 2(x+1) + 1
y = 2x + 3


Je peux maintenant calculer l'intégrale :

S(-1 ; 1/2) 2x + 3 = [x² + 3x](-1 ; 1/2)
= ( (1/2)² + 3*(1/2) ) - ( (-1)² + 3 * (-1) )
= 1/4 + 3/2 - 1 - 3
= 7/4 - (-2)
= 7/4 + 2 = 15/4 u.a.


Reste à calculer les aires A1 et A2 :

A2 est la moitié du rectangle de longueur 2 et de côté 1 donc : 2 *1 = 2 ; 2/2 = 1
A2 = 1u.a.

A1 est la moitié du rectangle de longueur 1 et de largeur 1/2 donc : 1 * (1/2) = 1/2 ; (1/2)/2 = 1/4 u.a.


DONC :

Aire triangle de gauche = 15/4 - 1/4 + 4/4 = 18/4 = 9/2 u.a

Il y a beaucoup de petits soucis là.

En effet, tu trouves une éuqation de tangente qui est a coefficient directeur positif alros qu'on a devant les yeux une droite décroissante .

Ensuite que va représenter l'intégrale de l'équation de cette droite sur l'intervalle [-1;1/2] d'après les considération sur les aires qu'on a faites il y a quelques messages?

Ok je reprends donc le calcul de la tangente à x² en -1

y = f'(a)(x-a) + f(a)

avec f(-1) = (-1)² = 1
et f'(-1) = 2 * -1 = -2

DONC :

y = -2(x+1) + 1
y = -2x -2 + 1
y = -2x -1

Le problème est réglé .

Citation :

Ensuite que va représenter l'intégrale de l'équation de cette droite sur l'intervalle [-1;1/2] d'après les considération sur les aires qu'on a faites il y a quelques messages?

Cela représentera l'aire du trapèze partant de -1 et s'arrêtant à 1/2 [partant de A1 jusqu'à la limite du premier triangle.

En fait, cela revient à calculer l'aire entre deux courbes non?

Bonsoir,

L'équation del a droite est juste en effet. Maintenant l'aire calculé n'est pas celle du trapèze.

En effet, l'équation de ta droite est en faite l'équation de la droite (AC) qui coupe l'axe des abscisses en -1/2. Il y aura donc nue partie au-dessus de l'axe et nue partie au-dessous de celui-ci.
Par conséquent, lorsqu'on va calculer l'intégrale entre -1 et 1/2 de la fonction y=-2x-1, on va calculer concrètement l'aire sous la courbe pour la partie positive et moins l'aire "sous" la courbe pourl a partie négative c'est à dire A1-A2.

Est-ce que c'est plus clair cette relation entre d'aire et intégrale pour une courbe qui coupe l'axe des abscisses?

Donc, je dois calculer l'intégrale de la droite (AB)?

Bonsoir,

Alors l'intégrale de la droite (AB) entre l'abscisse de A et l'abscisse de B te donnera l'aire du trapèze sous la courbe en effet. C'est à dire l'aire de la partie du triangle au-dessus de l'axe des abscisses + A1 + A4.

Donc si on soustraire l'intégrale de la droite (AC) entre -1 et 1/2 qui est égale à A1-A2 d'après les remarque faite au-dessus.

On aura: A1+aire du triangle au-dessus de l'axe des abscisse+A4 -(A1-A2)=aire du triangle au-dessus de l'axe des abscisses+A2+A4

Il reste à voir ce que donne l'intégrale de la droite (CB) entre 1/2 et 2.

Est-ce clair ce que je raconte ou c'est du charabiat en fait? Car faut le dire, j'ai tout mon temps pour ré-expliquer et crois-moi faut mieux avoir compris ces histoire d'aire et d'intégrale pour éviter les surprises sur des exercices chiants mais par pour autant difficile lorsqu'on a bien compris les relations.

Bon courage pour la suite!

Ouais je pense saisir petit à petit.

Citation :

Il reste à voir ce que donne l'intégrale de la droite (CB) entre 1/2 et 2.

Déjà, j'ai besoin de l'équation de (CB). C'est la tangente à la courbe en x = 2.

y = f'(a)(x-a) + f(a)

f(a) = f(2) = 2² = 4
f'(a) = f'(2) = 2 * 2 = 4

y = 4(x - 2) + 4
y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4


DONC :

S(1/2 ; 2) 4x - 4 dx = [ 2x² -4x](1/2 ; 2)
= 0 - (1/2 -2) = -1/2 - 2 = -1/2 - 4/2 = -5/2 u.a.

Le calcul est juste mais que vaut cette intégrale en terme d'aire car c'est ce qui nous intéresse ici?

Cela vaut A3 + A4

Intuitivement la réponse est fausse car il y a forcément un changement de signe. En effet, il y a une partie qui est au-dessus de l'axe des abscisses et l'autre qu iest au-dessous. Par conséquent, il y en a une qui correspond à l'aire sous la courbe et l'autre qui correspond à moins l'aire "sous" la courbe.

Il faut vraiment sentir les choses de cette façon si tu as un doute c'est la plus simple (pour moi en tout cas) pour retenir ce qu'on calcul réellement.

Oui, c'est vrai...

On a donc A4 - A3

C'est juste!

Donc maintenant faut recoller toutes les intégrales pour trouver l'aire de notre triangle qui est égale normalement à A2+A3+la partie au-dessus de l'axe des abscisses.

Bon courage!

A2 + A3 -5/2 u.a.

avec A2 = 1 u.a.
et A3 = 0.5 u.a.

DONC :

1 + 0.5 - 5/2 = -1 u.a.

T'es fâché avecl es intégrale, j'ai l'impression .

Alors on a dit ceci:

Citation :

Aire de la partie de gauche du triangle= (Aire sous la droite (AB) comprise entre -1 et 1/2) - A1 + A2

Citation :

Lorsqu'on va calculer l'intégrale entre -1 et 1/2 de la fonction y=-2x-1, on va calculer concrètement l'aire sous la courbe pour la partie positive et moins l'aire "sous" la courbe pourl a partie négative c'est à dire A1-A2.

De plus, l'aire sous la droite (AB) comprise entre -1 et 1/2 c'est égale à l'intégrale entre -1 et 1/2 de l'équation de la droite (AB)

Donc avec ces deux choses là, on sait déjà que:

Aire(Partie gauche)= (∫(-1;1/2) [équation de (AB)] dx) - ∫(-1;1/2) [-2x-1]dx


On a vue ensuite que ∫(1/2;2) [4x - 4] dx=A4 - A3 (=L'aire "sous" la courbe (CB))

Or Aire(Partie droite)= Aire sous la droite (AB) comprise entre 1/2 et 2 - (A4+A3)

Donc: Aire(Partie droite)= (∫(1/2;2) [équation de (AB)] dx) - ∫(1/2;2) [4x-4]dx

Conclusion:

Arie(totale du triangle)= Aire(Partie gauche) + Aire(Partie droite)
Aire(Totale du triangle)= (∫(-1;1/2) [équation de (AB)] dx) - ∫(-1;1/2) [-2x-1]dx + (∫(1/2;2) [équation de (AB)] dx) - ∫(1/2;2) [4x-4]dx

Or (∫(-1;1/2) [équation de (AB)] dx)+ (∫(1/2;2) [équation de (AB)] dx)= (∫(-1;2) [équation de (AB)] dx) (par relation de Chasles)

Conclusion:

Aire(Totale du triangle)= (∫(-1;2) [équation de (AB)] dx) - ∫(-1;1/2) [-2x-1]dx - ∫(1/2;2) [4x-4]dx[/b]


Est-ce que tu comprends le raisonnement ?

Là oui, je comprends. J'aurais mis du temps mais dis comme ça c'est très clair!

Cool ça !

Alors, il te reste à calculer l'équation de la droite (AB) et toutes les intégrales. Le but étant de retrouver (si tes souvenirs restent bons) ce qu'on a déjà trouvé par une méthode directe sans intégrale c'est à dire 27/4.

Il faudra reprendre ces histoires d'aire à tête reposer et sans la correction car ce n'est pas ce qu'il y a de plus simple mais bon avec du temps et de l'entraînement ça finit par devenir assez intuitif.

Bon courage pour les calculs!